當這句話從孔采維奇口中說出時,辦公室里的空氣仿佛都凝固了一瞬。
孔采維奇轉過身,從白板旁拿出了一支馬克筆。
這一刻,那個平時總是吊兒郎的老頑童徹底消失了。
現在站在白板前的,是1998年菲爾茲獎得主!是首屆基礎物理學突破獎與數學突破獎的雙料得主!
是同調鏡像對稱理論的奠基人!
是當代數學界極少數能將量子場論的物理直覺與純粹代數幾何完美融合的神級天才——馬克西姆·孔采維奇!
……
孔采維奇的眼神中閃過一絲複雜的情緒。
那是緬懷,是驕傲,是興奮,但更多的,是一種即將告別的淡淡傷感。
孔采維奇心裡很清楚。
從今天起,從徐辰將霍奇猜想的證明框架擺在他面前的那一刻起,這個曾經還需要他提點、還需要他指引方向的學生,已經徹底長成了一棵他再也無法遮蔽的參天大樹。
這棵樹的高度,甚至已經超越了他自己,超越了當代所有的數學家,正在向著那片屬於高斯、牛頓、歐拉的星空野蠻生長。
這或許,是自己作為導師,最後一次有機會,能親手推他一把了。
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從此以後,在數學的道路上,他將再也無法為徐辰提供任何實質性的指導。他能做的,只剩下仰望和祝福。
既然是最後一次,那就必須是最漂亮的一次。
想到這裡,孔采維奇深吸了一口氣。
他緩緩合上雙眼,將大腦里所有的雜念、傲氣以及那絲隱秘的失落全部清空。
當他再次睜開眼時,那顆曾經代表著人類智力頂峰的數學大腦,猶如一台重啟的超級計算機,將那些塵封在記憶深處長達幾十年的物理直覺與極冷門的拓撲技巧,毫無保留地全部激活!
這將是他作為徐辰導師,最後的助攻!
……
徐辰看著老師突然氣場全開、甚至連眼神都閃著駭人精光的樣子,愣了一下。
他在心裡暗自臥槽了一句:這老頭子平時一副吊兒郎當的樣子,認真起來的時候,居然這麼帥的嗎?
孔采維奇沒有給他多餘反應的機會,開口道:「徐辰,你沒在主流文獻里見過它,這很正常。」
「因為那還是1995年的事情。當時我在法國奧賽(Orsay)的一個小型研討會上做報告,隨手在黑板上寫下了這個關於特殊級數的想法。但我這人比較懶,覺得這不過是個有意思的小玩具,從頭到尾都沒有把它寫成正式的論文發表。」
「後來,是唐·扎吉爾和另外幾個聽過那場報告的人,覺得裡面的漸近展開技巧大有可為,才順手替我把它系統化並發展了出來。但是這個領域依然是個冷門,畢竟我當時只是覺得很有趣因此才沒有繼續研究。」
「而且就算有文獻提到類似的方法,通常只寫那幾個後來者的名字。因此你自然不知道它其實來自於我的發現。」
(這裡參考了孔采維奇在動機積分上的真實故事,也是沒寫論文,只是會議上提到了自己的發現。)
……
「現在,讓我告訴你,這套理論為什麼能成為你解決霍奇猜想的最後一塊拼圖。「
老頭子重新拿起馬克筆,在白板上畫出一個單位圓,然後在圓周上標記出幾個尖銳的尖點。
「很多年前,我研究過這樣一個級數。」
孔采維奇在圓的右側寫下:
F(q)=∑_(n≥0)(q;q)_n, 其中 (q;q)n=∏(k=1)^n(1−q^k)
「它有一個很奇怪的性質。」
「當 q 是單位根時,乘積中的某個因子最終會變成零,所以這個看起來無窮的級數會自動截斷,得到一個完全確定的有限值。」
「可只要離開單位根,它幾乎到處都不收斂。」
「後來,唐·扎吉爾發現,可以給它匹配一個與半整數權模形式有關的艾希勒積分。圓內存在一個解析對象,而邊界有理點上的那些截斷值,則是這個解析對象逼近尖點時留下的算術影子。」
「內部的解析補全和邊界上的怪異級數,不是同一個函數。」
「可它們擁有完全相同的漸近展開。」
徐辰的瞳孔微微放大。
這句話,精準擊中了他證明中的最後一塊空白。
他的特徵級數同樣只在有理退化點上截斷。
同樣在連續參數方向上發散。
同樣擁有一套看似無法延拓、卻又高度結構化的漸近展開!
這不是相似。
這幾乎就是同一種骨架,在兩個完全不同的數學領域裡投下的影子!
……
「而你的問題,本質上是這樣的:「孔采維奇用筆尖點著那個單位圓,「你的霍奇類構造,依賴於一套退化簇族。也就是說,當參數不斷變化時,你的代數簇在某些特殊的有理點處會退化成某種極限流形。「
「對。「徐辰點了點頭。
「而你為了證明這個霍奇類真正能由代數閉鏈支撐,所以你寫出了一個特徵級數。這個級數在那些有理退化點上能夠截斷收斂,代表著某種極限流形的特徵。但問題是——「
孔采維奇轉過身,用筆尖點在那些發散項上,「這個級數在連續參數方向上,處處都是發散的!它看起來就像是一個毫無意義的攝動展開,既無法常規積分,也無法用代數幾何里的平坦性去往外延拓。「
「正是這裡!「徐辰突然明白了自己卡在哪裡。
「你覺得這很反直覺,對嗎?「
孔采維奇眯起眼睛,「一個級數怎麼可能在離散點上收斂,在連續參數上卻處處發散?這違反了所有你學過的分析學直覺。「
「所以你才陷入了困境。你想要用常規的泛函分析或者實分析的工具去馴服它,結果當然是徒勞。因為你在用錯誤的工具去敲錯誤的門。「
孔采維奇轉過身,眼神直視徐辰。
「但你知道嗎?這個級數……「他的聲音突然提高:「它是一個量子模形式!「
徐辰的瞳孔驟然收縮。
量子模形式,這個概念在純粹代數幾何的傳統教學中,幾乎已經淪為了邊緣領地。但它卻是連接數論、表示論、弦理論這幾個看似毫不相干領域的神秘橋樑。
孔采維奇回到白板,用更加有力的筆觸,在那個單位圓周上畫出了一道複雜的積分曲線。
「當年我隨手寫過的那個級數——∑(q;q)_n——所有人都以為它死了,因為它除了在單位根處,處處都是發散的。但後來扎吉爾加入了一個艾希勒積分的技巧。「
老頭子轉過身,面向徐辰。
這一刻,他的整個人似乎都在閃閃發光。
……